書名：李永樂的神奇數學：簡單破解數學密碼，輕鬆建立數學邏輯

作者簡介

李永樂

北大物理和經濟學雙學士，清華大學電子工程碩士，北京物理學會「國際物理奧賽金牌教練」。
十餘年教學經歷，培養眾多學生順利考入頂尖大學，全網超三千萬粉絲達人，視頻播放量超十億次。
著有《跟著網紅老師玩科學：十分鐘搞懂數學、物理及生活科學》。

書籍目錄

第一章　統計問題

如何找到真命天子？
一、蘇格拉底的麥穗
二、祕書問題
三、尋找最佳伴侶
四、規律真的有用嗎？

如何判斷資料造假？
一、首位數位是1的機率有多大？
二、班佛定律
三、班佛定律的驗證
四、用班佛定律發現假賬
五、如何證明班佛定律？

考頂尖大學和中五百萬元哪個難？
一、中五敗萬元大獎的機率有多大？
二、考頂尖大學有多大可能？
三、高爾頓釘板

街頭遊戲：摸珠子
一、總共的情況數
二、中獎的情況數
三、機率和期望

公車為何總不來？
一、公車等待時間的悖論
二、檢查悖論
三、為什麼我們的觀點不同？

詹姆斯和馬龍誰的投籃命中率更高？
一、錄取比例問題
二、腎結石的治癒率
三、籃球的命中率
四、為什麼會出現悖論？
五、辛普森悖論的幾何解釋

寒門為何總出貴子？
一、伯克森悖論
二、學習愈努力成績愈差？
三、寒門才能出貴子？
四、長得帥的都是渣男嗎？

第二章　機率問題

幾個有趣的機率問題
一、三門問題
二、紅球藍球問題
三、三個囚犯問題

四隻鴨子的機率問題和伯特蘭悖論
一、四隻鴨子
二、伯特蘭悖論

為何我總是這麼倒楣？
一、莫非定律
二、生活中的莫非定律
三、為什麼每年都有空難？
四、還有其他的解釋嗎？

為什麼久賭無贏家？
一、賭場優勢
二、賭徒謬誤
三、輸了就加倍
四、賭徒輸光原理

葫蘆娃救爺爺，為何一個一個上？
一、只救一次
二、可救多次

第三章　函數問題

那些二進位的有趣問題
一、數學遊戲
二、二進位
三、遊戲揭祕
四、老鼠試毒藥問題
五、八卦和電腦

10099和99100誰更大？
一、儘量拆
二、三進制
三、這是為什麼？

如何證明3=0？
一、3=0？
二、一元二次方程式
三、複數根
四、方程的增根

x的x次方，圖像長什麼樣？
一、實數乘方的含義
二、複數的三角形式
三、乘方概念的拓展
四、函數圖像

舉例子能證明數學題嗎？
一、一元多項式
二、多元多項式
三、幾何定理

冰雹猜想
一、冰雹猜想
二、珊瑚樹
三、「幾乎所有」的證明
四、數的密度

一個西瓜切四刀，最多有幾塊？
一、切餅問題
二、切西瓜問題

第四章　邏輯問題

國王的新衣
一、紅眼睛和藍眼睛
二、共有知識和公共知識
三、吶喊的力量

如何公平地切蛋糕？
一、兩人分蛋糕：我切你選
二、三人切蛋糕：公平但是有嫉妒
三、如何消滅嫉妒心？

零知識證明
一、零知識證明
二、阿裡巴巴與四十大盜

一百名囚犯問題
一、囚犯的策略
二、閉環
三、這個機率有多大？
四、如果人數更多
五、還能再厲害一點嗎？

找瑕疵品問題
一、9個球，已知瑕疵品輕重
二、N個球，已知瑕疵品輕重
三、6個球，不知瑕疵品輕重
四、N個球，不知瑕疵品輕重
五、課後討論

雙蛋問題
一、雙蛋問題
二、還能更厲害一點嗎？

約瑟夫環問題
一、約瑟夫環問題
二、證明約瑟夫環問題的解
三、更加一般的約瑟夫環問題

第五章　博弈論問題

策梅洛定理
一、遊戲的結局是一定的
二、井字遊戲
三、圍棋

囚徒困境

膽小鬼博弈
一、膽小鬼博弈
二、古巴導彈危機

海盜分金幣問題
一、海盜分金幣問題
二、現實中的海盜分金幣問題

田忌賽馬
一、田忌賽馬
二、國家的合作與對抗

三個火槍手問題
一、赤壁之戰
二、高平陵之變
三、華容道

第六章　圖形問題

賽車問題
一、武次是可行的
二、四次為什麼不行？
三、還能再厲害一點嗎？

不走回頭路的公園
一、哥尼斯堡七橋問題
二、奇點和偶點

馬能走遍棋盤上的所有位置嗎？
一、漢米爾頓問題
二、吃飯排座位問題
三、騎士巡遊問題

香蕉皮和橘子皮，誰能展成平面？
一、曲率半徑和曲率
二、主曲率
三、高斯絕妙定理
四、什麼樣的曲面才能展成平面

最速降線問題
一、白努利家族
二、什麼是擺線
三、悲情的約翰

如何用尺規作出正十七邊形？
一、尺規作圖的基本操作
二、尺規作圖的代數應用
三、正十七邊形的尺規作圖
四、什麼樣的正多邊形可以尺規作圖？

如何三等分任意角？
一、規矩數
二、古希臘三大幾何難題
三、天妒英才

文章試閱

【詹姆斯和馬龍誰的投籃命中率更高？】

有個小朋友和我說，他特別喜歡看籃球比賽，最喜歡的球星是湖人隊的勒布朗．詹姆斯（LeBron James）。他曾把詹姆斯和歷史上的著名球員卡爾．馬龍（Karl Malone）做比較，結果發現一個神奇的現象：整個生涯中，無論是兩分球的命中率還是三分球的命中率，詹姆斯都比馬龍高。但如果把兩分球和三分球加在一起，詹姆斯的命中率反而比馬龍低。這是怎麼回事呢？
實際上，這是統計學上的一個著名悖論—辛普森悖論。最早由愛德華．辛普森（Edward H. Simpson）在一九五一年發表的論文中進行了詳細闡述。辛普森悖論是指：進行統計比較時，如果對資料進行分層，統計結果與總體資料可能是不同的。

一、錄取比例問題

歷史上比較典型的辛普森悖論的例子，是美國加州大學柏克萊分校的錄取比例問題。柏克萊是美國的著名大學，截至二○二一年十月，建校一百多年來，一共誕生一百一十一位諾貝爾獎得主、十四位菲爾茲獎得主、二十五位圖靈獎得主。「原子彈之父」羅伯特．奧本海默（RobertOppenheimer）、著名華人物理學家朱棣文、華裔物理學家吳健雄，還有數學家丘成桐、陳省身，都在柏克萊學習和工作過。
可是一九七三年的秋天，柏克萊公布的研究生招生名單卻引起一場風波。那一年，許多女同學向學校表達強烈抗議，因為從招生名單來看，男生申請者中有44％被錄取，女生申請者只有35％被錄取，男生錄取率是女生的一．二五倍！簡直是赤裸裸的性別歧視！
壓力之下，柏克萊被迫展開調查，結果發現：許多學院招收學生時，反而是女生錄取比例更高。
我們用一些虛擬的資料來說明這個問題。假設有一百個男同學和一百個女同學申請柏克萊的研究生，分別申請物理學院和文學院。男生中有八十人申請物理學院，錄取三十八人；二十人申請文學院，錄取二人；女生中有二十人申請物理學院，錄取十四人；八十人申請文學院，錄取十六人。
先看分組比較資料：男生申請物理學院的通過率是47.5％，女生申請物理學院的通過率有70％，女生的通過率比男生高很多。男生申請文學院的錄取率為10％，女生的錄取率是20％，女生的通過率是男生的二倍。單獨從兩個學院的資料來看，好像不是女生受到歧視，反而是男生受到歧視。
但從總體錄取資料來看，提交申請的男生和女生都是一百人，男生有四十人被錄取，女生只有三十人被錄取，男生的錄取比例比女生多出1/3，這樣看來好像又變成歧視女性。
為什麼同一份資料卻得出兩種不同結論呢？這就是辛普森悖論。陰謀家們往往會利用辛普森悖論煽動大眾：如果我想批評柏克萊歧視男性，就可以隱藏總體錄取資料，只讓你看到每個學院的錄取資料—每個學院的女生錄取比例都比男生要高，這樣就可以呼籲男生起來對抗學校了。反過來，如果想批評柏克萊歧視女性，就可以避開每個學院的錄取資料，只給出總體錄取資料—同樣的人數申請同一所學校，憑什麼男生錄取比例比女生高1/3？這難道不是涉嫌歧視女性嗎？

二、腎結石的治癒率

辛普森悖論還有另一個典型案例—腎結石的治療方法。
腎結石患者往往需要透過手術的方法治療，手術方式有兩種：一種是開放手術，可能對人造成較大創傷；另一種方法是微創手術，用內視鏡把結石取出來，手術創傷較小。患者的結石情況也可分為小結石和大結石兩種，醫生會按照結石大小選擇不同的治療方案。
某位醫生對兩種治療方法的治癒率進行統計，開放手術和微創手術各三百五十例，前者二百七十三例有效，後者二百八十九例有效。
小結石患者中八十七人使用開放手術治療，治癒率約93％； 有二百七十人選擇微創手術，治癒率約87％。這樣來看，對於小結石患者，似乎開放治療的效果更好一點。
再看大結石患者：有二百六十三人選擇開放手術，治癒率約73％；有八十人選擇微創手術，治癒率約69％。大結石患者依然應該選用開放手術，因為它的治癒比例更高。
既然不管是大結石還是小結石，都是開放手術的治癒率更高，是否應該只給病人推薦開放手術呢？先別急，假如我們看一下總體資料，就會發現開放手術的平均治癒率為78％，而微創手術的平均治癒率約為83％，這樣一來，反而是封閉手術的效果更好。這又構成了辛普森悖論。
假如醫生想推薦開放手術，就可以只向患者展示分層資料。患者發現：不管大小結石，開放手術的治癒率都更高，肯定會傾向於開放療法。反過來，如果醫生想推薦微創手術，就會隱去分層資料，只給患者展示總體資料：同樣是三百五十名患者，微創手術的治癒率更高，患者自然希望採用微創手術。同樣的資料，用不同的表述方式得出了不同的結論。

三、籃球的命中率

現在，我們來看看詹姆斯和馬龍的投籃命中率問題。詹姆斯和馬龍都是著名的「長壽球員」，馬龍退役時四十歲，詹姆斯生於一九八四年，依然活躍在籃球場上。
如果除去罰球資料，統計在整個職業生涯（截至二○二一年）中詹姆斯和馬龍的投籃資料。
我們可以發現：單獨看兩分球，詹姆斯投出一萬九千二百四十五個，命中一萬零五百六十四個，命中率約54.9％，高於馬龍三個百分點；單獨看三分球，詹姆斯投出五千四百零九個，命中一千八百六十個，命中率約34.4％，高出馬龍七個百分點！既然兩分球和三分球，詹姆斯的命中率都更高，整體命中率應該也是詹姆斯更高才對。
可是事實並非如此。如果把兩分球和三分球加到一起，詹姆斯的平均命中率約50.4％，居然低於馬龍的51.6％。這也是辛普森悖論。
因個人的喜好不同，同樣的資料也可能會被賦予不同的解讀方式，如果更喜歡詹姆斯，就可以用兩分球和三分球的分層資料支援自己；同樣，如果喜歡馬龍，則可以只討論整體命中率。