書名：數學分析圖鑑：圖鑑圖解x實例，從微積分到向量分析，一本搞定！

作者簡介

作者簡介
藏本貴文
1978年1月於香川縣丸龜市出生。
從關西學院大學理學部物理學科畢業後，為了得到實踐與學習先進物理的機會，進入大型半導體企業就職。目前負責的是以微積分、三角函數、複數撰寫描述半導體元件特性的公式，再以該公式建立模型。
從事的副業包含以現役工程師的身份撰寫文章，也就是所謂的工程師寫作家。目前正在撰寫科學技術相關書籍（自著）以及協助撰寫商務相關書籍與實用書，並編輯與監製電子書籍。
主要著作：《數學大百科事典 能於工作應用的公式、定理與規則127》（翔泳社）
《學校沒教的事！徹底了解高中數學使用方式的一本書》（和秀system）
Twitter帳號：@engineer_writer

譯者簡介

譯者簡介
許郁文

　　輔仁大學影像傳播學系畢業。因對日文有興趣，於東吳日語教育研究所取得碩士學位。曾擔任日商多媒體編輯、雜誌日文採訪記者，現職為專職譯者。

　　譯作包含《東京歷史不思議》（麥浩斯）、《至死不渝的高速閱讀法》（如何）、《家事的科學》（PCuSER電腦人文化）、《三明治研究室》（麥浩斯）、《三日間的幸福》（台灣角川）、《海賊王的時代》（馬可孛羅）

　　歡迎大家透過臉書認識我
　　Facebook:baristahsu。Email：baristahsu@gmail.com

相關作者簡介

★前師範大學系教授兼主任 洪萬生 審訂

書籍目錄

第1章　函數與數列
1-1 吐出數字的盒子　函數
1-2 反向、巢狀結構、暗示　反函數、合成函數、隱函數
1-3 函數的基礎的基礎　冪函數（n次函數）
1-4 正弦與餘弦與其說是三角函數，更像是波函數　三角函數
1-5 說明呈幾何級數增加的方法　指數函數
1-6 精簡地呈現龐大的數　對數函數
1-7 學習數學分析的關鍵　数列
1-8 有點麻煩卻很有用　參數、極座標
Column　對數圖的使用方法

第2章　微分法
2-1 何謂「趨近」　極限、無限大
2-2 微分係數可以這樣理解　微分的定義
2-3 總之先記住吧　主要函數的微分
2-4 介紹技巧　各種微分公式
2-5 有助預測股價　函數的增減、凹凸、高次導函數
2-6 雖然理所當然，卻很深奧　中間值定理、均值定理
2-7 實用數學必備絕招　泰勒級數、馬克勞林級數
2-8 嚴謹定義「逼近」　ε-δ論證
Column　函數的增減、凹凸與股價的變動

第3章　積分法
3-1 就算加了無限個也不一定會變成無限大　無窮級數
3-2 積分有兩個意思　積分、微積分的基本定理
3-3 最終只能背下來　不定積分的公式
3-4 思考面積的區間吧　定積分的公式
3-5 計算複雜積分所需的技巧　分部積分法、代換積分法
3-6 以積分求出的各種量　體積、曲線的長度
3-7 【擴充內容】延拓積分　勒貝格積分
Column　汽車追不上腳踏車？

第4章　多變數函數
4-1 「其他」的部分固定再微分　偏微分
4-2 ∂與d有什麼不同？　全微分
4-3 總之很方便的計算方法　拉格朗日乘數
4-4 只是多積分幾次　多重積分
4-5 利用多變數轉換座標？　連鎖法則、雅可比變數轉換
4-6 各種區域的積分　線積分、面積分
Column　拉格朗日乘數法為何成立？

第5章　向量分析
5-1 箭頭也有各種性質　向量的基礎
5-2 只有維度增加，一點也不困難　向量的微分與積分
5-3 指出最陡急之處的向量　梯度（grad）
5-4 代表湧出與吸入的純量　散度（div）
5-5 描述超小型水車旋轉作用的向量　旋轉（rot）
5-6 結果是純量　向量值函數的線積分、面積分
5-7 向量分析的集大成　斯托克斯定理、高斯定理
Column　從安培環路定律了解向量的旋轉

第6章　複變函數
6-1 不只是i2＝-1　複數的基礎
6-2 指數函數與三角函數的橋樑　歐拉公式
6-3 也有無數個值存在　各種複變函數
6-4 複數函數的微分概念　柯西-黎曼方程
6-5 複變函數的積分邏輯　柯西積分定理
6-6 複變函數在實數函數的積分很實用　留數定理
6-7 理工學的法寶、實用度No1　傅立葉轉換
Column　複數的便利性與四元數

第7章　微分方程式
7-1 奠定科學基礎的工具　微分方程式的基本
7-2 先徹底了解型態　基本的常微分方程式的解法
7-3 輕鬆解開微分方程式　拉普拉斯轉換
7-4 多變數函數的微分方程式　偏微分方程式

第8章　近似、數值計算
8-1 要決定割捨什麼的步驟最難　一次逼近
8-2 實用度No1的方程式數值解法　牛頓拉弗森方法
8-3 變成差分，微分也變得簡單　數值微分
8-4 只是要計算面積　數值積分
8-5 常微分方程式具代表性的數值解法　歐拉方法、龍格-庫塔法

索引

推薦序/導讀/自序

前 言
本書的目的在於讓從事數學相關工作或研究的人、理工組及經濟系的學生、工程師、須要了解統計學的人，早點掌握數學分析學全貌。
本書一開始從高中程度的函數與微積分開始介紹，接著說明多變數函數的微積分、向量分析、複變函數、微分方程式、數值分析，是說明相當全面的一本書。
許多讀者應該都覺得「考進大學之後，數學突然變得很深奧」對吧。的確，進入大學之後，數學突然變難了。
主要原因有兩個。
第一個是大學的數學比高中的數學更加抽象，另一個是大學的數學將重點放在定理的證明，而定理的意義與必然性也通常很艱澀難懂。
本書的堅持就是徹底杜絕上述那些原因。
第一步，本書不會使用抽象化的說明，而會透過具體的例子、圖形與插圖說明，希望讓大家透過插圖、對話框這類視覺設計了解主題。
其次，除了特殊情況，本書不會提及定理的證明或是公式的推導過程。因為在學習初期掌握全貌時，上述的證明只是一種雜訊，所以本書是將重點放在以簡單易懂的詞彙說明定理的意義與必然性。
其實我不是數學專家，而是從事半導體設計的工程師，負責的業務叫做「建模」，而這項工作會用到微積分、矩陣、向量、統計學這些數學，以將半導體元件的特性轉換成公式。
由此可知，我不是研究數學的人，而是使用數學的人，所以在數學家眼中，我的說明或許不夠嚴謹，但我相信有許多人都需要像我這種理解數學的方式，我也是為了這樣的讀者才寫了這本書。
接下來就讓我們一起學習數學分析學吧。只要閱讀本書，應該能在最短時間內，學會數學分析學的必要基礎，省下來的時間請大家拿去做該做的工作。
但願本書能幫助各位加快學習數學、研究數學與工作的腳步，讓生活變得更加豐富。

藏本貴文

文章試閱

汽車追不上腳踏車？
大家聽過「追逐腳踏車的汽車追不上腳踏車」這個故事嗎？或是「飛箭追不上飛鳥」「兔子追不上烏龜」這類故事。簡單來說，就是速度較快的東西追不上速度較慢的東西的故事。這是由古希臘哲學家芝諾提出的主張，所以又稱為芝諾悖論。
假設有輛汽車與腳踏車沿著同一條路、同一個方向同時出發，而腳踏車在汽車前方20公里的地點A出發。汽車以時速40公里前進，腳踏車以時速20公里前進時，汽車要花多少時間才能追到腳踏車呢？答案很簡單，1個小時之後。因為此時汽車走了40公里。
不過，若是以下列的邏輯思考，又會得到什麼結果（這就是芝諾的邏輯）。
在0.5小時之後，汽車來到地點A，但腳踏車已經前進到10公里遠的地點B。在0.75（＝0.5＋0.25）小時之後，汽車來到地點B，但是腳踏車已經前進到5公里遠的地點C。在0.875（＝0.5＋0.25＋0.125）小時之後，汽車來到地點C，但是腳踏車又前進到2.5公里遠的位置，以此類推，不管重覆幾次，腳踏車始終都在汽車前面，所以汽車永遠追不到腳踏車。
雖然這種結論很奇怪，但是這種邏輯到底哪裡出了問題呢？
雖然行進時間不斷以0.5小時、0.25小時、0.125小時、⋯⋯相加，但不管相加幾次，都不會超過汽車追上腳踏車的1小時，而這就是3-1節介紹的無窮級數的概念，也就是相加無限個時間之後，只要總和會往有限的值收斂，就不會是無限的時間。其實汽車追上腳踏車的時間為首項0.5＝1/2、公比1/2的無窮等比級數，而這個無窮等比級數的總和為（1/2）╱{1–（1/2）}＝1，換言之，這個討論會在汽車追上腳踏車的1小時之前不斷延續下去。